• 复杂度


    复杂度

    复杂度分析

    1. 数据结构和算法的目标:快、省,即执行效率和资源消耗
    2. “事后统计法”具有很大局限性,提前预估效率很重要
    3. 复杂度分析是学习算法的精髓和分析算法的利器

    时间复杂度

    1. 假设每行代码执行时间意义,所有代码的执行时间 T(n) 和每行代码的执行次数 n 成正比。
    T(n) = O (f(n))
    
    1. 大O时间复杂度表示代码执行效率随数据规模增长的变化趋势,也叫渐进时间复杂度
    2. 当n很大时,低阶、常量、系数并不左右增长趋势,可以省略,只需要记录最大量级。
    1. 只关注循环次数最多的一段代码.
    2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那一段代码。
    3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于内外代码复杂度之积。
    1. 常见复杂度量级
      1. 非多项式量级:(O(2^n),O(n!)),称为NP算法,效率较低。
      2. 多项式量级:(O(1),O(logn),O(n),O(nlogn),O(n^k))

    (O(1))

    int i = 1 ;
    int j = 2 ;
    int sum = i + j ;
    

    常量级时间复杂度的表示方法,即便有 3 行,也是 O(1) ,并非 O(3) 。一般情况下,只要不存在循环、递归,复杂度都为 O(1) ,与代码量无关。

    (O(logn)、O(nlogn))

    int i = 1 ;
    while ( i <= n )
    {
        i = i * 2 ;
    }
    

    这段代码的复杂度为 (O(log_2n)),不同底数的对数可以互相转换,系数可以省略,所以统一表示为 (O(logn))
    (O(nlogn)) 表示把 (O(logn)) 的代码循环执行n遍。

    (O(n+m)、O(n*m))

    T1(n) + T2(m) = O (f(n) + g(m))
    T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
    

    当有多个数据规模,表示复杂度时不能省略。


    空间复杂度

    1. 大 O 空间复杂度表示代码存储空间随数据规模增长的变化趋势,也叫渐空间间复杂度
    void print(int n) 
    {
        int i = 0;
        int[] a = new int[n];
        for (i; i <n; ++i) 
        {
            a[i] = i * i;
        }
    }
    
    1. int[] a = new int[n]申请了大小为 n 的 int 类型数组,忽略常量阶的空间申请,所以上述代码空间复杂度为 O(n)。
    2. 常见的空间复杂度有(O(1),O(n),O(n^2));

    最好、最坏情况时间复杂度

    public int find(int[] array,int n,int x)
    {
        int p = -1 ;
        for(int i = 0 ; i < n ; ++i)
        {
            if(array[i] == x)
            {
                p = i ;
                break ;
            }
        }
        return p ;
    }
    /**
        上述代码的作用是返回数组中 x 出现的位置。
        最好:第一个就是要找-> O(1)
        最坏:遍历整个数组没有找到该元素-> O(n)
    **/
    
    1. 最好情况时间复杂度

    最理想情况下,执行这段代码的时间复杂度。

    1. 最坏情况时间复杂度

    最糟糕情况下,执行这段代码的时间复杂度。

    平均时间复杂度

    分析上述代码,在长度为n的数组中查询x的位置,有 n+1 种情况,分别为数组的 0 到 n-1 位置上和不在数组中,把每种情况下,需要遍历的元素个数累加起来,除以 n+1 ,得到需要遍历元素个数的平均值。

    [frac{1+2+3+...+n+n}{n+1}quad=quadfrac{n(n+3)}{2(n+1)} ]

    忽略常量、系数、低阶,简化后时间复杂度为O(n);结果虽然正确,但是这样计算没有考虑每种情况发生的概率,正确计算过程如下:

    [1*frac{1}{2n}+2*frac{1}{2n}+...+n*frac{1}{2n}+n*frac{1}{2}=frac{3n+1}{4} ]

    此结果是加权平均值,平均时间复杂度即加权平均时间复杂度,简化后得 O(n)。

    均摊时间复杂度

    int[] array = new int[n];
    int count = 0;
    void insert(int val) 
    {
      if (count == array.length) 
      {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < array.length; ++i) 
        {
          sum = sum + array[i];
        }
        array[0] = sum;
        count = 1;
      }
      array[count] = val;
      ++count;
    }
    

    这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后,即 count == array.length 时,用 for 循环遍历数组求和,将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置,然后从第二个 位置开始插入数据。如果数组一开始就有空闲空间,则直接将数据插入数组

    分析以上代码,得出:

    1. 最好情况时间复杂度:有空闲位置,直接插入下标为 count 的位置,复杂度为 O(1)
    2. 最坏情况时间复杂度:遍历数组,复杂度为 O(n)
    3. 加权平均时间复杂度:有空闲位置 n 种情况,不空闲 1 种,概率都为(frac{1}{n+1}),加权平均时间复杂度为 O(1)

    [1*frac{1}{n+1}+1*frac{1}{n+1}+...+n*frac{1}{n+1}=>O(1) ]

    1. 均摊时间复杂度是用摊还分析法得出的:

      例如上述代码中,每一次 O(n) 的插入操作,都会紧跟 n-1 个 O(1) 的插入操作,把耗时多的操作均摊到接下来 O(1) 的操作上,那么这一组操作的均摊时间复杂度就是 O(1)

      对一个数据结构进行一组连续操作中,大部分情况下时间复杂度都很低,只有个别情况下时间复杂度比较高,而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系,这个时候,我们可以将这一组操作放在一起分析,看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时,平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。

      在能够应用均摊时间复杂度分析的场合,一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度

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